Energy Bands and Charge Carriers in Semiconductors
#유효질량(Effective Mass)
이번에 공부할 내용은 결정 안 전자의 겉보기 질량을 의미하는 유효질량이다. 결정 속의 전자는 완전히 자유로운 것이 아니며, 격자의 주기적인 전위와 상호작용을 하기 때문에, 이 모든 것을 고려한 물리 법칙을 세우고 결과를 예측하는 것이 불가능하다. 따라서 수 많은 원자로부터의 영향을 근사적으로 접근해야 한다. 유효질량의 계산에서는 3차원적인 k-공간에서의 에너지대역 모양을 고려하여 여러가지 대역구조의 적합한 평균을 취해야 한다.
앞서 공부한 챕터에서, 전자의 운동량 p는, p = mv = ℏk 이다. 운동에너지는 E = 1/2mv^2 이기 때문에, mv를 변환하여
E = (ℏk)^2/2m 으로 나타낼 수 있다. 따라서 전자의 에너지는 파동벡터 k에 대하여 위 그림과 같이 포물함수로 표현할 수 있다. 앞선 식을 파동벡터 k로 이차 미분하면, 포물함수의 곡률(curvature)이 나오게 되고, 해당 곡률은 유효질량 m에 반비례한다는 결과가 구해진다. 그러므로 에너지대역의 곡률이 전자의 유효질량을 결정하게 된다.
#진성 반도체 재료(Intrinsic Material)
현재 반도체는, 다양한 불순물 첨가로 인해 수 많은 종류와 성질을 가질 수 있다. 이를 통해 특정 산업에 알맞은 반도체를 제작, 사용하는 것이다. 하지만, 이러한 불순물 첨가나 결정결함이 하나도 없는 완전한 반도체 결정이 있는데, 이를 진성(intrinsic) 반도체라고 한다. 이와 같은 물질은 가전자 대역은 전자로 충만되어 있고, 전도대역은 비어 있다. 높은 온도에서는 가전자 대역의 전자가 열적 여기되어 에너지 간극을 넘어 전도대역으로 이동함에 따라 EHP가 생성되고, 해당 EHP가 진성반도체의 유일한 전하 캐리어이다. 이때 전자와 정공은 짝을 이루어 생성되기 때문에 전도대역의 전자농도 n과 가전자 대역의 정공농도 p는 동일하게 구성된다. 따라서 진성 캐리어 농도를 ni로 나타낼 때, 진성 반도체는 [ n = p = ni ]의 성질을 가지게 되는 것이다.
주어진 온도에서는 전자-정공쌍의 일정한 농도 ni가 있다. 정상상태의 캐리어 농도가 유지되려면, 동일한 비율로 EHP의 재결합이 이루어져야 한다. 재결합은 전이된 전도대역의 전자가 다시 가전자 대역의 빈 에너지 상태로 돌아갈 때 발생하며 이로써 전자-정공쌍이 소멸된다. 따라서 EHP의 생성률과 재결합률은 평형상태에서 동일하다는 성질을 가진다. [ gi = ri ]
#외인성 재료(Extrinsic Material)
순수하고 불순물 첨가가 없는 반도체 재료인 진성 반도체와 반대로, 열적으로 생성된 진성 캐리어에 덧붙여 결정에 고의적으로 불순물을 첨가하여 반도체 캐리어를 생기게 할 수 있다. 해당 과정이 도핑(doping)이며, 반도체의 전도도를 바꾸어 주기 위한 가장 일반적인 기법이다.
도핑을 통해 전자 또는 정공 어느 한쪽이 우세하게 바꾸어 줄 수 있기 때문에, 대부분이 전자로 존재하는 n형과 대부분이 정공으로 존재하는 p형 반도체가 생성된다.
- 도너(donor) 준위
완전한 결정에 불순물이나 격자결함이 첨가되면 부가적인 에너지준위가 에너지 대역간극 내에 형성된다. 예를들어, V족 불순물(P, As, Sb)이 Si에 첨가되면 전도대역 아주 가까운 곳에 에너지준위가 생기게 된다. 해당 준위는 0K에서 전자로 충만되어 있으며 해당 전자를 전도대역으로 여기시키는 것은, 가전자 대역으로부터의 여기에 비해 극히 적은 에너지가 소모된다. 이와 같은 준위를 전자를 제공한다하여 도너(donor) 준위라고 한다. 이를통해, 전자가 정공보다 더 많아지게 되어 n형 물질을 이루고, 이때의 전자를 다수캐리어(majority carrier)라고 하고, 정공을 소수캐리어(minority carrier)라고 한다.
- 억셉터(acceptor) 준위
또한 III족 불순물(B, Al, Ca, In)이 Si에 첨가되면, 가전자 대역 가까이에 불순문 준위를 형성한다. 해당 준위는 0K에서 전자가 비어있어 낮은 온도에서 전자를 가전자 대역으로부터 해당 준위로 여기시켜 가전자 대역에 정공을 남기게 하는 데 충분한 에너지를 얻을 수 있다. 이와 같은 준위를 전자를 받아드린다고 하여 억셉터(acceptor)준위라 한다. 따라서 정공이 전자보다 더 많아지기 때문에 정공이 다수캐리어(majority carrier)가 되고, 전자가 소수캐리어(minority carrier)가 된다.
#양자우물에서의 전자와 정공(Electrons and Holes in Quantum Wells)
앞서 공부한 도핑으로 인해 생성되는 에너지 대역간극에서의 일정한 값을 가지는 이산(discrete) 에너지준위들과 가전자 및 전도대역에서 허용되는 연속(continuum) 에너지준위들과 함께, 양자역학적인 구속에 의해 전자와 정공이 생성하는 에너지준위가 발생한다.
위 그림은, 불순물에 에너지 대역간극이 달라진다는 성질을 이용한 예이다. 에너지 간극이 1.85eV로 매우 큰 AlGaAs로 둘러싸인, 매우 얇은 GaAs를 나타낸 다층구조에서 전도대역 및 가전자 대역의 공간적 변화를 나타내었다. 여기서 흥미로운 것은, 구속된 전자나 정공이 앞서 공부한 전위우물에서의 입자와 같이 행동한다는 것이다. GaAS 영역은 매우 얇아서 가전자대 및 전도대에 양자화(quantize)된 에너지준위, 즉 양자 준위를 가지게된다. 따라서, 에너지 대역간극 Eg가 변화하기 때문에 방출하는 에너지가 달라지고, 빛의 색도 달라지게 된다. 이와 같은 양자 준위는 GaAs의 두께에 따라 계속해서 달라지기 때문에, 동일한 물질의 두께를 변경하게 되면 다른 색을 방출할 수 있는 것이다.
#캐리어 농도(Carrier Concentration)
반도체의 전기적 성질을 계산하고 전자소자의 동작을 분석함에 있어 그 물질의 cm^3당 전하 캐리어의 수를 알아야 할 필요가 있다. 도핑된 물질에서는 불순물 원자에 대하여 다수캐리어 농도는 분명하지만 소수캐리어의 농도는 그렇지 않고, 온도 의존성 또한 고려해야한다. 따라서 캐리어농도 식이 필요한데, 이를 얻기 위해서는 취할 수 있는 에너지상태 범위의 캐리어 분포상태를 조사해야 한다.
- 페르미 준위(Fermi Level)
고체 내의 핵외전자는 열정 평형 상태에서 페르미 입자들이 보이는 통계적 분포인, 페르미-디렉(Fermi-Dirac)의 통계에 따른다. 페르미 입자들은 구별 불가능한 입자로, 파동성 및 파울리 배타원리를 따른다. 즉 두개 이상의 입자가 양자 상태에 동시 존재가 불가능하다. 해당 통계로부터 나온 평형상태에서 허용된 에너지 준위 범위에서의 전자 분포는 아래 식과 같다.
여기서 k는 볼츠만 상수이다. 함수 f(E), 즉 페르미-디렉 분포함수는 에너지 E에 취할 수 있는 에너지상태를 절대온도 T에서 전자가 점유할 확률을 나타낸다. Ef는 페르미준위라 하며 반도체 동작을 분석하는데 있어 중요한 양을 나타낸다.
위 그래프을 보면, 0K에서는 단순한 직사각형 모양을 취한다. 이 직사각형 분포는 0K에서 Ef까지 취할 수 있는 모든 에너지상태가 전자에 의해 점유되어 있고, Ef를 초과하는 모든 에너지상태는 비어있다는 것을 의미한다. 또한 온도에 따라 기울기의 영향을 받으며, 온도가 높아질 수록 기울기가 반비례하여 감소하는 것을 확인할 수 있다. 반도체에 페르미-디랙 분포함수를 적용하면, f(E)는 E에서 취할 수 있는 에너지상태가 점유될 확률을 의미한다. 따라서 Ef에서의 점유확률을 구하면 1/2이 구해진다.
페르미준위 Ef는 진성 물질에서 대역 간극의 중앙에 위치한다. f(E)는 Ef에 대해 대칭이기 때문에, 확대되어 보이는 전도대역 속에서 연장된 전자에 대한 확률 곡선 부분은 가전자 대역의 정공에 대한 확률 곡선 부분 [1-f(E)]와 대칭적이다. n형 반도체 물질에서는 가전자대역의 정공농도에 비해 전도대역의 전자농도가 더 높기 때문에 분포함수는 에너지눈금에서 진성 반도체보다 높게 위치한다. n형 물질은 전자농도가 정공농도보다 크게 형성되는데, 이는 Ef가 Ec에 접근함에 따라 에너지 준위에 대한 f(E)의 값이 증가된다는 것을 의미한다. p형 반도체 물질은 페르미 준위가 가전자 대역 가까이에 위치하여 분포함수가 진성 반도체보다 낮게 위치한다. p형은 n형과 다르게 도핑이 높아질 수록, 즉 Ef가 Ev에 접근할 수록, f(E)가 아닌 [1-f(E)]의 값이 증가된다.
- 평형상태에서의 전자 및 정공농도
페르미 분포함수는 가전자 대역과 전도대역에서 취할 수 있는 에너지 상태의 밀도가 알려지면, 전자와 정공의 농도를 계산할 수 있다.
위 식을 예로 들면, 전도대역의 전자농도는 전자가 존재할 확률인 f(E)와 전자가 위치할 수 있는 빈 공간인 N(E)의 곱을 적분함으로써 구할 수 있다. 따라서 위 식에서 전자 농도를 유효상태밀도(effective density of states) Nc에 관한 식으로 나타내고, 페르미 준위 Ef가 적어도 수 kT만큼 전도대역 아래쪽에 있다고 가정하여 계산하면 아래의 식과 같이 단순화된다.
비슷하게 가전자 대역의 정공농도는 다음과 같고, Nv는 가전자 대역의 유효상태밀도를 나타낸다.
위 그래프를 살펴보면, 에너지상태밀도 N(E)는 type에 상관없이 동일하게 나타난다. 하지만 f(E)는 진성 반도체를 기준으로 n,p형의 Ef가 변화한 것을 찾아볼 수 있고, 도핑을 통해 Ef준위를 이동시키는 것이 가능하다는 것을 알 수 있다. 이에 캐리어 농도는, 진성 반도체에서는 동일한 분포를 가지고 있지만, n-type은 donor준위의 전자가 있어 가전자 대역의 정공보다 전도대역의 전자 농도가 더 높고 반대로 p-type은 정공의 농도가 더 높은 것을 확인할 수 있다.
위의 전자와 정공에 대한 식으로 예시된 전자와 정공농도는 그 물질이 진성과 외인성 물질에 관계없이 열정 평형이 유지된다면 유효하다. 따라서 진성 반도체에서 Ef는 에너지 대역간극 중앙 부근의 진성준위 Ei에 있을 것이며 농도는 다음과 같다.
평형상태(Thermal Equilibrium)에서 n0와 p0의 곱은 도핑이 변동되어도 물질과 온도에 대해서는 일정한 값을 가진다.
따라서 위의 n0*p0와 ni*pi값이 동일하다는 성질을 이용하면, 전자 및 정공 농도의 일정한 곱은
다음과 같이 편리하게 사용할 수 있다. 해당 식은 이후 계산에서 광범위하게 사용되기 때문에 반드시 숙지해야 한다. 또한 n0p0 = nipi의 수식과 위의 n0p0 = ni^2의 식을 사용하면 , 앞서 설명했던 전자와 정공의 농도를 유효상태밀도 대신 진성 캐리어 농도 ni를 사용하여 나타낼 수 있다.
#마치며
해당 챕터를 마무리하고, 다음 챕터에서는 p형의 정공농도와 캐리어의 표동과 저항, 의사(quasi) 페르미준위에 대해 공부할 것이다. 공부를 계속해가면서, 점점 내용이 복잡해지고 많은 내용이 등장한다. 증가하는 공부량에 맞춰 더 열심히 노력해야겠다.
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